آموزش های جامع

شکل 4-3 جزئیات مرتبهی اول D1، دوم D2 ، سوم D3 و تقریب A3 از پروفایل نماینده مربوط به دمای ℃ 500

شکل 4-4 جزئیات مرتبهی اول D1، دوم D2 ، سوم D3 و تقریب A3 از پروفایل نماینده مربوط به دمای ℃ 600
آنچه که تحلیل اولیه دادهها نشان میدهد آن است که با افزایش دما میبایست اندازه ذرات بزرگتر شده باشد و یا بهتر است بگوییم جزئیات تصویر افزایش یافته است که این افزایش جزئیات بیانگر افزایش لبهها و نهایتا افزایش لبهها بیانگر عبور از مرز یک ذره است؛ در یک پروفایل که انبوهی کاتورهای ذرات را نیز داریم، این تغییرات با کاهش اندازه ذرات افزایش خواهد یافت. در زیر، به منظور درک بهتر، تحلیل دادهها با استفاده از نمودار رادار مورد بررسی قرار گرفته است.
4-2-6 تحلیل دادهها با استفاده از نمودار
جهت مقایسه نمایش صحیح از نحوهی تغییرات دادههای حاصل از اعمال تبدیلات موجک میبایست از نمودارهای تحلیلی مناسب استفاده نمود.
4-2-7 معرفی نمودارها
نمودار انباشته (Stack Chart) :
((از این نمودار برای نشان دادن اثر عنصرهای دادههای متعدد بر روی یک عنصر گرافیکی منفرد مورد استفاده قرار میگیرد. این نمودار با سه حالت انباشته کم، نزدیک و زیاد به مقدار واقعی نشان داده میشود. همچنین میتوان مقدار و حجم آن را در یک عنصر گرافیکی منفرد نشان داد)).
نمودار رادار:
((از این نمودار برای مقایسهی کل به کل و یا مقایسهی مقادیری که وابستگی به یکدیگر ندارند استفاده میشود)).
4-2-8 رسم نمودار دادههای مربوط به جزئیات
برای نشان داده نحوهی رفتار پروفایلهای سه تصویر در جزئیات از نمودار انباشته استفاده میکنیم:

شکل 4-5 مقایسه جزئیات مرتبه 1 تصاویر SEM لایههای نازک مگهمایت در دماهای ℃ 400، ℃ 500، ℃600

شکل 4-6 مقایسه جزئیاتمرتبه 2 تصاویرSEM لایههای نازک مگهمایت در دماهای ℃ 400،℃ 500،℃600

شکل 4-7 مقایسه جزئیات مرتبه 3 تصاویر SEM لایههای نازک مگهمایت در دماهای℃ 400،℃ 500،℃600
به وضوح دیده میشود که نمودار مربوط به دمای 600 درجه سانتیگراد بیشترین مقدار ضرائب موجک و بعد از آن بترتیب 500 و400 درجه سانتیگراد قرار دارند. اما میزان تغییرات ضرائب موجک در نمودار 400 درجه سانتیگراد بیشتر است. تنها این مسئله در صورتی ممکن است که اندازهی ذرات با افزایش دما بزرگتر شده باشد [29].
4-2-9 رسم نمودار تقریب مرتبه سوم
یکی از مقادیر خروجی از اعمال تبدیلات موجک تقریب سیگنال اصلی است، که نمایش جامعی از دادهها را به ما میدهد؛ البته این موضوع منوط به استفادهی صحیح از مرحله تجزیه و مرتبه تقریب آن است.
نمودار “رادار” بهترین روش نمایش تغییرات پروفایل دادههای تصاویر است که مقادیر نسبی را با یک نقطهی مرکزی میسنجد.

شکل 4-8 نمایش تغییرات پروفایل ضرایب موجک دادههای تصاویرلایههای نازک مگهمایت در دماهای℃ 400، ℃ 500، ℃600
آنچه که به وضوح دیده میشود ، بشترین “بازهی تغییرات ضرائب موجک” مربوط به تصویر با دمای400 درجه سانتیگراد، و سپس 500 درجه سانتیگراد و کمترین بازه تغییرات مربوط به 600 درجه سانتیگراد است. با توجه به شکل بالا هر چه نمودار به نقطه مرکزی رادار نزدیکتر شود جزئیات مربوط به سیگنال تصویر بیشتر شده و نموداری که بیشترین فاصله از مرکز رادار را دارد (نمودار400درجه سانتیگراد) دارای کمترین جزئیات سیگنال است. با افزایش دما میبایست اندازه ذرات بزرگتر شده باشد و یا بهتر است بگوییم جزئیات تصویر افزایش یافته است که این افزایش جزئیات بیانگر افزایش لبهها و نهایتا افزایش لبهها بیانگر عبور از مرز یک ذره است[29].
کاربردهایی هم که در رابطه با آن میتوان آورد اینکه در کشف و شناسایی نقایص (ترک) سیگنال ، تشخیص نقاط ناپیوستگی موجود در سیگنال ، تشخیص اصوات از فواصل بسیار دور از طریق بازیابی مولفههای فرکانسی مربوط به سیگنال میباشد. از جمله اهم کاربردهای آن میتوان به تشخیص اثر انگشت و شناسایی اشخاص و همچنین در کد گذاری دادهها جهت رمز گشایی از طریق فشرده سازی دادهها و بازیابی مولفه فرکانسی سیگنال در سیستمهای امنیتی اشاره کرد و حتی نیز نقش مهمی در اثر انگشت و تشخیص هویت افراد میتواند داشته باشد[30].

نتایج و بحث مقدمه
تصاویری که توسط میکروسکوپهای گمانه روبشی (SPM) از یک سطح (مثلاً، سطح یک لایه نازک) گرفته می شوند، اغلب دارای یک نمایه غیراقلیدوسی، که معرف یک ساختار بسیار راندوم است، هستند. در چند دهه اخیر پیشرفتهای مهمی در زمینه فهم و توسعه مدلهای فیزیکی بدست آمده است. یه عنوان مثال، از تحلیل فوریه بطور گستردهای در تجزیه و تحلیل سیگنالها و تصاویر (به عنوان سیگنالهای دو بعدی) استفاده شده است [22]. اما این روش معایبی از قبیل؛ نیاز به آنالیز تمام بازه زمانی سیگنال به منظور بدست آوردن محتوای فرکانس و عدم توانایی در مشخص نمودن زمان وقوع یک فرکانس معین را دارد. از اینرو، ابزار مناسبی برای سیگنالهای نامنظم (مثلاً تصاویر) نمیباشد. سپس، برای از بین بردن معایب فوق، روش تبدیل فوریهی پنجرهای ابداع گردید. در این روش تحلیل سیگنال در بازه زمانی که به آن پنجره گفته میشود صورت میگیرد، و تحلیل نیز بصورت محلی انجام میگیرد. ولی، عیب آن این است که عرض پنجره ثابت بوده و قابل تغییر نیست و برای کل دامنه سیگنال این عرض ثابت است [23]. در عوض، نظریه تبدیل موجکی جایگزینی کارآمد برای نظریههای فوق در بسیاری از کاربردهای مختلف است. موجکها این توانایی را فراهم میآورند که پایههای متعامد در فضای دوبعدی داشته باشیم. بعلاوه، بر خلاف تبدیلات فوریه، در حوزههای زمان و فرکانس محلی می شوند و میتوان اطلاعات موضعی دقیقی را از سیگنال استخراج کرد. بنابراین بکارگیری تبدیل موجک در مواردی که سیگنال، یا تصویر به عنوان سیگنالی دو بعدی، دارای مشخصات غیر مانا با مولفههای فرکانس بالا است (مثلاً وجود قله یا جهش در سیگنال) بسیار مناسبتر از فوریه عمل میکند [27-24].
4 -1 مواد و روش ساخت
4 -1-1 مواد آزمایش :
موادی که، در ادامه یک کار قبلی [28]، در این آزمایش استفاده شده است عبارتنداز: اسید-کلریدریک 2مولار( )، آهن کلراید 6 آبه ( )، سدیم سولفات( )، آمونیاک 085/0 مولار ( )، اسیدکلریدریک 1/0مولار( ) همگی تهیه شده از شرکت مرک آلمان. آب مقطر، استون شستشو و متیل-الکل(متانول ) به عنوان حلال از شرکت کیان کاوه آزما و شیشه (lam) به عنوان زیرلایه از نوع آلمانی برای لایهنشانی نانوذرات.
4 -1-2 روش ساخت :
روش همرسوبی شیمیایی برای سنتز اکسیدهای آهن ( و () از محلولهای آبی [ /+ +] از طریق افزایش یک باز (قلیا) تحت اتمسفر بی اثر و در دمای اتاق یا دماهای بالا می باشد. اندازه، شکل و ترکیب نانوذرات مغناطیسی تولید شده به میزان زیادی به نوع نمکهای مصرفی (کلراید، سولفات، نیترات و پرکلرات)، نسبت Fe2+/Fe3+، دمای واکنش، pH و قدرت یونی محیط بستگی دارد. با این روش سنتزی در صورت ثابت بودن شرایط سنتز، کیفیت نانوذرات تولید شده کاملاً تکرار پذیر خواهد بود.
مراحل سنتز نانوذرات مگهمایت را در هفت گام بطور جزء به جزء توضیح میدهیم:
1): ابتدا به میزان 26/1 گرم از سدیمسولفات ( ) را با آب مقطر حل میکنیم تا مایع شفاف بی رنگی بدست آید.2): سپس به مقدار 4/5 از آهنکلراید 6 آبه( ) را با اسید کلریدریک 2مولار( ) ترکیب کرده محلول رنگ زرد تیره بدست میآید 3): 9 از محلول بدستآمده به همراه 31 آب مقطر به مدت 5 دقیقه یا بیشتر در دستگاه (نوعی لرزشگر یا ویبراتور که امواجی فراصوتی را ایجاد میکند) قرار میدهیم تا محلول کاملا حل شود. به آن 6 از محلول سدیم سولفاتی را که در مرحله اول بدست آورده بودیم را اضافه میکنیم. محلول زرد رنگ شفافی بدست میآید.
4): به محلول زرد رنگ میزان 240 آمونیاک 085/0 مولار ( ) اضافه کرده رنگ محلول بنفش خواهد شد. یک عدد مگنتور در محلول روی هود در دمای 50 (حدودا 30 دقیقه) توسط استایر( ) با تعداد دور 4 تا 5 دور در ثانیه بهم زده میشود. 5): محلول سیاه رنگ (قهوهای تیره) را روی یک آهن ربا قرار میدهیم. چون محلول خاصیت مغناطیسی دارد، کم کم ته نشین میشود. حلال آمونیاک را دور میریزیم. مکررا آب مقطر اضافه میکنیم، بهم میزنیم و دور میریزیم تا آمونیاک خاصیت بازیاش، را از دست دهد. با آن را تست میکنیم تا خنثی شود، یعنی آن به 7 یا پایینتر از آن برسد (شکل 3-1) .6): محلول در حال چرخش را روی هود میگذاریم کمکم به آن اسیدکلریدریک 1/0مولار( ) اضافه میکنیم تا اش به 3 یا 5/3 برسد، یعنی اسیدی اش میکنیم. سپس آن را در داخل بالون رفلاکس به مدت 5/1 ساعت تحت هوادهی قرار میدهیم.7): محلول را از دستگاه رفلاکس بیرون آورده و چند بار دکانته میکنیم تا حدی که آب محلول کاملا شفاف شود. آب مقطر اضافی را هم دور میریزیم و سرانجام ماده موجود در ته ظرف را که به نوعی مگهمایت لیکوییدی یا قیری شکل است، درون آون یا خشککن، به مدت 15 تا 20 ساعت در دمای 80 درجه سلسیوس میگذاریم تا آب اضافی آن کاملا تبخیر شود. و در نهایت با تراشیدن کف بشر، نانوذرات مگهمایت که به رنگ قهوهای سوخته است، بدست میآید.
برای تهیه لایههای نازک از روش اسپری پایرولیز استفاده شد. در این تکنیک از اسپری کردن محلول بدست آمده از نانو ذرات روی یک زیرلایه شیشهای (در دمای 350 تا 400 درجه سلسیوس) استفاده شد. در این تحقیق از یک گاز حامل برای اسپری کردن محلول مورد نظر با استفاده از یک دستگاه پمپ هوا مدل LB10L TORNADO برای تولید پرفشار هوا به عنوان گاز حامل استفاده شده است. با اسپری محلول تهیه شده بر روی بستره حلال آن بر اثر دمای زیرلایه سریعاً تبخیر میشود و لایه نازکی از نانوذرات مگهمایت بر روی بستره تشکیل میشود. فاصلهcm30 برای ارتفاع نازل- بستره و همچنین فشار گاز 3 میلیبار(mbar) برای لایهنشانی در این روش بهینهسازی شد. نمونههای تهیه شده در دماهای مختلف ( 400، 500 و 600) در کوره پخت داده شد.
در این فصل تصاویر SEM تهیه شده در شرایط دمایی مختلف 400، 500 و 600 را که یک نمونه نوعی آن در شکل 4-1 نشان داده شده است را با تبدیل موجک از منظر تقریب و جزئیات مورد بررسی و مقایسه قرار میدهیم. نحوه تخصیص سیگنالها با برنامه متلب و با استفاده از تبدیل موجک انجام شده است.
شکل 4-1 تصویر SEM لایه نازک مگهمایت در دمای ℃600
4-2 بکارگیری موجک درتصاویر SEM:
4-2-1پارامتر مقیاس
برای بیان تغییرات یک سیستم و مقایسه ی آن با سیستمی دیگر پارامتری هست که باید هر دو را با آن سنجید و حاصل سنجش را با هم مقایسه نمود، که به آن “پارامتر مقیاس” می گویند.
4-2-2 انتخاب تبدیلات موجک
حال اگر بجای یک سیستم فیزیکی، تصویری از ذرات آن سیستم تحت شرایط مختلف را داشته باشیم، میبایست اولا پارامتر مقیاس درستی را تعریف کنیم، ثانیا نحوهی استفاده از آن پارامتر مقیاس و دادههای حاصل، به عنوان نتایج نهایی به گونهای باشد که سنجش را به درستی و قابل مقایسه بیان کند. یکی از بهترین ابزارها در زمینه مقایسهی تصاویر استفاده از تبدیلات موجک میباشد. در تحقیق پیش روی از موجک مادر Daubechies در مرتبه 5 (db5)، تراز 3 استفاده شده است.
4-2-3 ویژگی خانوادهی تبدیلات موجک
موجکها خانوادهای با اعضا و خصوصیات منحصر به هر عضو به همراه پارامترهای متغیر هستند، که با توجه به مرتبهی آنها در تقریب و استخراج جزئیات و مرتبهی تجزیه از اهمیت بالایی برخوردار است. این تبدیلات دارای توان سنجش تک بعدی (پروفایلهای تک بعدی)، دوبعدی (تصاویر)، و سه بعدی میباشند.
4-2-4 پروفایل نماینده
آنچه که ما در مراحل داده سنجی انجام دادهایم، تجزیهی رشته به رشتهی پروفایلهای تصاویر و استخراج جزئیات و همچنین تجزیه، تقریب و استخراج جزئیات تبدیل پروفایل میانگین تمامی ستونها به عنوان “پروفایل میانگین” یا “نماینده” هر تصویر است. اما سوال مهم اینجاست که آیا میتوان از پروفایل میانگین به عنوان دربردارندهی خصوصیات مجموعهی تمامی پروفایلهای یک تصویر استفاده نمود؟ بهتر است ابتدا یک یادآوری از علّت استفادهی ما از تبدیلات موجک و کاربرد آن در پردازش تصاویر داشته باشیم؛ تبدیلات موجک به عنوان یک غربالگر مکانی، اطلاعات پروفایلها را استخراج میکند. پس حتی اگر تغییراتی در تمامی پروفایلهای تصویر مورد مطالعه داشته باشیم، این تغییر به وضوح در نتایج، نشان داده خواهد شد. در نتیجه یک تغییرکلی در تمامی پروفایلها نسبت به تصویر قبلی خواهیم داشت که عملاً این تغییرات در پروفایل میانگین نیز ظاهر خواهد شد.آنچه که از نتیجهی بحث فوق به وضوح قابل نتیجه و ارائه است، یک راه دقیقتر برای مطالعه و مقایسه تصاویر به عنوان دادههای دو بعدی معرفی پروفایل میانگین به عنوان “پروفایل نماینده” است. (البته به عنوان نمونه چند پروفایل از هر تصویر آورده شده است).
4-2-5 پردازش تصویر
روند پردازش تصویر و استخراج دادهها با استفاده از تبدیلات موجک در نرم افزار Matlab انجام گرفته است. با روند فرا خوانی تصاویر در نرم افزار آنچه که خواهیم داشت برای هر تصویر یک ماتریس با ابعاد 512˟512 است. میانگین هر ستون یک ماتریس 512˟1 به عنوان یک پروفایل نماینده بیانگر خصوصیات کل تصویر خواهد بود. این روند را برای هر سه تصویر با دماهای 400، 500 و 600 درجه سانتیگراد در پیش خواهیم گرفت. سپس با اعمال تبدیل موجک به عنوان ابزار سنجش و ضرایب آن به عنوان پارامترهای مقیاس دادههای تصاویر را بدست خواهیم آورد. دادهها شامل جزئیات مرتبهی اولD1، دومD2، سوم D3و همچنین شامل تقریبA3 از پروفایل نماینده است، شکلهای 4-2، 4-3 و 4-4.

شکل 4-2 جزئیات مرتبهی اول D1، دوم D2 ، سوم D3 و تقریب A3 از پروفایل نماینده مربوط به دمای ℃ 400

بنابراین مقدار میانگین تابع صفر خواهد بود و این به معنی آن است که تابه موجک بایستی تابعی نوسانی باشد.
ب) نظم یا قاعده
این شرط ایجاب میکند که موجک مادر بصورت موضعی نرم و متمرکز (هم در زمان و هم در بسامد) باشد. این شرط مفهوم جدیدی را مطرح میسازد و آن صفر بودن گشتاور است. هر گاه تابع موج ، M بار مشتق پذیر باشد در آن صورت :
پارامتر مقیاس در تبدیل موجک همان مفهوم مقیاس در نقشهها را دارد. بسامدهای کم اطلاعات کلی از سیگنال گرفته میشود و در بسامد زیاد ، اطلاعات جزئی سیگنال مورد بررسی قرار میگیرد. مقیاسبند یک ابزار ریاضی است که در اینجا منظور از آن همان باز شدن و یا فشرده شدن و جک در زمان است [18،21].
انجام تبدیل موجک پیوسته را میتوان در پنج مرحله زیر خلاصه کرد:

دانلود رایگان یک نمونه متن کامل پایان نامه رشته روانشناسی و علوم تربیتی با فرمت ورد

1 – موجک مورد نظر را انتخاب و آن را با یک بخش در شروع سیگنال مقایسه میکنیم.
2 – میزان شباهت موجک را با این بخش از سیگنال محاسبه میکنیم ، C ≡ ، هر چقدر عدد بزرگتر باشد، تشابه بیشتر است (شکل 3-7).

شکل3-7 مرحله دوم تبدیل موجک پیوسته[18].
3 – موجک را به سمت راست حرکت میدهیم و مراحل 1 و 2 را تکرار میکنیم تا کل سیگنال پوشش داده شود (شکل 3-8).

شکل 3-8 مرحله سوم تبدیل موجک پیوسته[18].
4 – مقیاس موجک را تغییر داده و مراحل 1 تا 3 تکرار میکنیم (شکل 3-9).

شکل3-9 مرحله چهارم تبدیل موجک پیوسته[18].
5 – مراحل 1 تا 4 را برای تمام مقیاسها تکرار میکنیم.
3-2-2 تبدیل موجک گسستهDWT
تبدیل موجک گسسته سیگنال ورودی را با استفادهی مولفههای فرکانس از یک سری فیلترهای عبوری بالا گذر و پائین گذر تجزیه میکند تجزیه صورت گرفته به این نحو است که براساس مقیاس دو تایی و تبدیل میباشد. یعنی سیگنال دریافتی را ابتدا به دو قسمت تقریبات و جزئیات تبدیل میکند و سپس قسمت مربوط به تقریب را دوباره به همین نحو تجزیه میکند تا در آخر به حالتی برسد که کمترین مقدار فرکانس خود را داشته باشد چون در این حالت مقیاس این سیگنال در بیشترین حالت خود قرار دارد. در تبدیل موجک گسسته ، دو دسته تابع مد نظرند :
1 – توابع مرتبط با مقیاس
2 – توابع مرتبط با موجک مادرکه به ترتیب مربوط به صافیهای پایین گذر و بالاگذر هستند.

که در آنها به ترتیب [k]lowY، [k] higt Y خروجیهای صافی پایین گذر و بالاگذرند تبدیل موجک در واقع یک نوع تبدیل فوریهی زمان کوتاه با طول پنجرهی متغیر است ، بطوری که دارای قدرت تفکیک بهتری نسبت به تبدیل فوریهی زمان کوتاه است و مشکل تبدیل فوریهی زمان کوتاه را هم ندارد در شکل 3-4 نمایشی از قدرت تفکیک زمان و بسامد در حالتهای نمایش زمانی ، بسامدی، فوریهی زمان کوتاه و تبدیل موجک آورده شده است.

شکل 3-10 نمایشی از قدرت تفکیک زمان و بسامد.
الف) نمایش سیگنال در حوزه زمان ، هیچگونه تفکیک بسامدی نمیتوان داشت. ب) حوزه فوریه، دقت تفکیک زمانی صفر است. ج) نمایش سیگنال با استفاده از تبدیل فوریهی زمان کوتاه، آنالیز زمان و بسامد سیگنال را داریم ولی دقت تفکیک زمان و بسامد در همهی بازههای در نظر گرفته شده یکسان است. د) در حیطهی موجک ، متناسب با تغییرات بسامد بازه زمانی (یا مقیاس) نیز تغییر میکند یعنی در بسامدهای بالا طول بازه کوچکتر و در بسامدهای کم طول آن بزرگتر است[21].

فصل چهارم

شکل 3-4 نحوه عمل در تبدیل موجک

دانلود رایگان یک نمونه متن کامل پایان نامه رشته روانشناسی و علوم تربیتی با فرمت ورد

در شکل بالا آن موجی که بیشترین مقیاس را دارد یعنی مشابهترین موج به سیگنال اصلی که حاوی بیشترین اطلاعات سیگنال است ، کمترین فرکانس را دارد و به عکس.
همانطور که در شکل مشاهده میشود، در فرکانسهای بالا زولوشن زمانی (طول هر یک از مستطیلها) بالا و رزولوشن فرکانسی (طول هر یک از مستطیلها) پایین و در فرکانسهای پایین، رزولوشن فرکانسی بالا و رزولوشن زمانی پایین دارد [21].

a : پارامتر مقیاس (بزرگنمایی موج) b : پارامتر انتقال یا شیفت
a1 < a2 , b1 < b2 فرکانس >فرکانس
3-3 مقیاسگذاری
آنالیز موجک دید زمان مقیاس از سیگنال ارائه میدهد. مقیاس گذاری موجک بطور ساده به مفهوم کشیدن یا فشردن کردن آن است که همان مفهوم scale factor است که با حرف a مشخص میشود. شکل 3-5 اثر scale factor را بر روی یک موجک نشان میدهد.

شکل3-5 اثرscale factor بر روی یک موجک[18].
3-4 انتقال
انتقال موجک به مفهوم به تاخیر انداختن یا تسریع نقطه شروع آن است. تاخیر تابع f (t) باندازه k با f (t − k) نمایش داده میشود. این مفهوم در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل3-6 انتقال یک موجک[18].
3-2-1 تبدیل موجک پیوسته CWT
رابطهی تبدیل موجک پیوسته بصورت زیر تعریف میشود:

که در آن f , c به ترتیب تابع سیگنال و ضرایب موجک اند و موجک مادر است. از حاصلضرب ضرایب موجک در توابع موجک (مقیاسشده و انتقالیافته در زمان)، موجکهای تشکیل دهنده سیگنال (یا توابع پایه) حاصل میشوند.
تبدیل موجک پیوسته را میتوان بصورت ضرب داخلی سیگنال اصلی در موجک مادر دانست.که در این صورت رابطهی تبدیل موجک پیوسته بصورت زیر خواهد بود :
که در آن
درجایی که به موجک مادر اشاره می کند. زمان/ فضا تابع دارای انرژی محدود و زوالپذیری سریع است. و s و به ترتیب نشان دهندهی اتساع (تاخیر) و پارامتر تبدیل هستند. که در آنها تابع پایه یا موجک مادر ، (t)x سیگنال مورد نظر ، مقدار انتقال زمانی و s اندازهی مقیاس تابع پایه است. معرف تابع موجک با مقیاس s است که به اندازه در طول سیگنال انتقالیافته است یک واقعیت مهم در مورد توابع موجک اینست که خود تبدیل هیچ محدودیتی در مورد شکل آنها ایجاد نمیکند و این تفاوت عمدهی تبدیل موجک با سایر تبدیلها است. ولی دو شرط وجود دارد که موجکها بایستی آنها را بر آورده سازند.
الف)مقبولیت

که در آن تبدیل فوریهی است از این شرط دو نتیجه حاصل میشود :
1 – تبدیل موجک معکوس شونده است:
یعنی به کمک توابعی که مجذور آنها جمع پذیرند میتوان هر سیگنال دلخاهی را بازسازی نمود
2– تابع بایستی به ازای =0ω دارای مقدار صفر باشد:

سریهای اطلاعاتی ناایستا به سریهایی اطلاق میشود که فرکانسهای موجود در آنها در نقاط مختلف فضای آرگومان رخ میدهند. در صورتی که هدف از آنالیز یک سری اطلاعاتی تنها آشکارسازی فرکانسهای موجود در آن باشد، روش بکار گرفته شده در آنالیز سریهای اطلاعاتی ایستا و ناایستا میتواند یکسان باشد. برای این منظور میتوان از تبدیل فوریه استفاده کرد. اما اگر هدف از آنالیز سری اطلاعات آشکارسازی محل بوقوع پیوستن هر فرکانس در فضای آرگومان باشد، تقسیم بندی ارائه شده در مورد سریهای اطلاعاتی از نقطه نظر ایستا یا ناایستا بودن باید مورد توجه قرار گیرد. در سریهای اطلاعاتی ایستا میتوان با استفاده از تبدیل فوریه نیز به جواب دلخواه رسید. “زیرا با استفاده از تبدیل فوریه فرکانسهای موجود در سری اطلاعاتی آشکار می شوند و نیز می دانیم که این فرکانسها در تمامی نقاط فضای آرگومان رخ میدهند.” اما در بررسی سریهای اطلاعاتی ناایستا پاسخگویی به این سؤال با بکارگیری تبدیل فوریه امکان پذیر نیست. بلکه باید امکان موضعی سازی زمان- فرکانس را فراهم آورند [15،16].
یکی از روشهای حل این مساله تبدیل سری اطلاعاتی ناایستا به بخشهای ایستا است. برای این منظور از یک تابع پنجره استفاده میشود، که با ضرب کردن آن در سری اطلاعاتی، میتوان آن را در فضای آرگومان محدود کرد. اگر از نتیجه این حاصلضرب تبدیل فوریه گرفته شود، میتوان از طیف حاصله به عنوان طیف سری اطلاعاتی در بازه زمانی تعریف شده توسط تابع پنجره تعبیرکرد. از این تبدیل به عنوان تبدیل فویه زمان کوتاه نام برده میشود.
همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، در این تبدیل یک سری اطلاعاتی به بخشهای کوچک تقسیم میشود و سپس از هر بخش تبدیل فوریه گرفته میشود.

شکل 3-1 روند تبدیل فوریهی زمان کوتاه[18].
برای رسیدن به تقسیم بندی زمانی مناسب از یک پنجره کوچک استفاده کرد و برای اندازهگیری دقیق یک فرکانس باید از یک پنجره به اندازه کافی بزرگ استفاده کرد. بنابراین یک رابطه عکس بین دقت زمانی و دقت فرکانسی وجود دارد.
تبدیل فوریه اجازه میدهد تا برای تجزیه و تحلیل دقیق از اجزای (مولفه) هارمونیک مقطع عرضی یا (برش عمودی) سطح استفاده شود. و در تفکیک تریس لرزهای به امواج سینوسی یا کسینوسی تشکیل دهنده آن بسیار موثر عمل میکند ولی متاسفانه پس از این تفکیک اطلاعات زمانی از بین میرود. بدین معنی که وقتی به تبدیل فوریهی یک سیگنال نگاه شود غیر ممکن است که بتوان گفت این مولفهها در چه زمانی روی سیگنال مورد نظر قرار دارند. چون تریسهای لرزهای ناپایا هستند، به عبارت دیگر خواص بسامدی و فازی آنها متغیر با زمان است، بنابراین نمیتوان از تبدیل فوریه برای تشخیص این خواص استفاده کرد. [21].
حال این سوال مطرح میشود که آیا میتوان برای رفع این مشکل سیگنال ناپایا را در بخشهای کوچکتری به عنوان سیگنالهای پایا فرض کرد یا به چند سیگنال پایا تقسیم نمود؟ جواب مثبت است ، نوعی تبدیل فوریه وجود دارد که روی قسمتی از یک سیگنال (در زمان) به کار میرود ، این روش به ” پنجره کردن سیگنال ” معروف است سیگنال ورودی را در دو بعد زمان و بسامد میدهد و نیز اطلاعاتی در مورد اینکه در چه زمانی کدام بسامدها ثبت شدهاند را میدهد. اصطلاح ” تبدیل فوریهی زمان کوتاه ” تفاوتی با تبدیل فوریهی معمولی دارد که طول پنجره در تبدیل فوریه برابر با طول سیگنال است ولی در تبدیل فوریهی زمان کوتاه، طول پنجره دارای ابعاد محدودی است، و فقط بخشی از سیگنال که در داخل. پنجره قرار دارد تبدیل فوریه گرفته میشود از نظر ریاضی، تبدیل فوریهی زمان کوتاه را میتوان بصورت زیر نشان داد:

که در آن :
سیگنال اصلی : (t) x
t– t) w(تابع پنجره : (
مزدوج مختلط: *
مقدار جابجایی پنجره در هر قدم است : ́t
این معادله چیزی نیست جز تبدیل فوریهی سیگنال که در تبدیل فوریهی تابع پنجره ضرب شده است هنگام اجرای تبدیل فوریهی زمان کوتاه طول پنجرهی زمانی انتخاب شده برای تمام طول سیگنال یکسان است. تفکیک زمان – بسامد در کل طول زمانی سیگنال تغییر نکرده است (شکل 3-2)، و این ضعف اصلی تبدیل فوریهی زمان کوتاه است (“یعنی چگونگی انتخاب عرض تابع پنجره”) است[71،21].

شکل 3-2 نمایش تبدیل فوریهی زمان کوتاه یک سیگنال. طول پنجره زمانی در طول کل زمان سیگنال ثابت است [18].
3-2 تبدیل موجک
زمینه ریاضی آنالیز موجک به کار Joseph Fourier در قرن نوزدهم برمیگردد. فوریه با تئوری آنالیز فرکانس اساس کار را پایهگذاری کرد، ولی کلا از دیدگاه تاریخی آنالیز موجک روش جدیدی است. نخستین عبارت موجک در سال 1909 در پایان نامه Alfred Haar ثبت شده است. مفهوم موجک در شکل تئوری زمان حاضر بوسیله Jean Morlet ژئوفیزیکدان فرانسوی پیشنهاد شده است[20،19]. تبدیل موجک در مکان و فرکانس متمرکز میشود که میتواند یک مزیت برای اطلاعات ریخت شناسی و توپوگرافی (نقشه برداری) سطح باشد. و یک ابزار ایده آل برای مشخص کردن مسیر انجام واکنش ناپیوستگی و حالت تناوبی بودن بر روی سطح میباشد. علاوه بر این میتوانند برای حذف نویز در تصویر میکروسکوپ روبشی مورد استفاده قرار بگیرند. در دورهی تحلیل تصاویر سه بعدی تبدیل موجک گسسته میتواند از همهی اشکال در همهی مقیاسهای فرکانس عکس بگیرد. بنابراین فراهم آوردن یک سطح از عکس دیگر غیر ممکن خواهد بود. همچنین این امکان وجود دارد که متدولوژی (روش شناسی) را برای تحلیل ساختار سطح در سطح مولکولی بکار برد. همانطور که ذکر شد در تبدیل فوریه ، سیگنال به موجهای سینوسی که دارای بسامدهای متفاوت هستند تفکیک میشود. به همین نحو در تبدیل موجک ، سیگنال به موجکهایی که شکل انتقالیافته یا مقیاس شدهای از یک موجک اصلی (یا مادر) هستند تفکیک میشود.

شکل 3-3 تفکیک سیگنال به موجکهای مادر تشکیل دهنده آن با استفاده از ضرائب تبدیل موجک
ویژگی اصلی تبدیل موجک در مقابل تبدیل فوریهی زمان کوتاه اینست که “تمامی توابع پایه از انتقال و مقیاس یک تابع (موجک مادر) بدست می آیند.” توابع موجک با اضافه کردن دو پارامتر انتقال و مقیاس، بصورت زیر از روی موجک مادر بدست می آیند:

در این رابطه ψ موجک مادر، a پارامتر مقیاس و bپارامتر انتقال و ضریب به منظور نرمالیزه کردن مقیاسهای مختلف اضافه شده است.
سیگنال تحت بررسی دارای فرکانسهای بالا در بازههای زمانی کوتاه (همانند مشاهده درخت (مقیاس کوچک)) و یا فرکانسهای پایین برای زمانهای طولانی (همانند مشاهده جنگل (مقیاس بزرگ)) می باشد مفید است.
این به بیان فیزیکی یعنی اینکه :