پایان نامه ارشد درمورد دیدگاه تاریخی و تبدیل فوریه


Widget not in any sidebars
مزدوج مختلط: *
مقدار جابجایی پنجره در هر قدم است : ́t
این معادله چیزی نیست جز تبدیل فوریهی سیگنال که در تبدیل فوریهی تابع پنجره ضرب شده است هنگام اجرای تبدیل فوریهی زمان کوتاه طول پنجرهی زمانی انتخاب شده برای تمام طول سیگنال یکسان است. تفکیک زمان – بسامد در کل طول زمانی سیگنال تغییر نکرده است (شکل 3-2)، و این ضعف اصلی تبدیل فوریهی زمان کوتاه است (“یعنی چگونگی انتخاب عرض تابع پنجره”) است[71،21].

شکل 3-2 نمایش تبدیل فوریهی زمان کوتاه یک سیگنال. طول پنجره زمانی در طول کل زمان سیگنال ثابت است [18].
3-2 تبدیل موجک
زمینه ریاضی آنالیز موجک به کار Joseph Fourier در قرن نوزدهم برمیگردد. فوریه با تئوری آنالیز فرکانس اساس کار را پایهگذاری کرد، ولی کلا از دیدگاه تاریخی آنالیز موجک روش جدیدی است. نخستین عبارت موجک در سال 1909 در پایان نامه Alfred Haar ثبت شده است. مفهوم موجک در شکل تئوری زمان حاضر بوسیله Jean Morlet ژئوفیزیکدان فرانسوی پیشنهاد شده است[20،19]. تبدیل موجک در مکان و فرکانس متمرکز میشود که میتواند یک مزیت برای اطلاعات ریخت شناسی و توپوگرافی (نقشه برداری) سطح باشد. و یک ابزار ایده آل برای مشخص کردن مسیر انجام واکنش ناپیوستگی و حالت تناوبی بودن بر روی سطح میباشد. علاوه بر این میتوانند برای حذف نویز در تصویر میکروسکوپ روبشی مورد استفاده قرار بگیرند. در دورهی تحلیل تصاویر سه بعدی تبدیل موجک گسسته میتواند از همهی اشکال در همهی مقیاسهای فرکانس عکس بگیرد. بنابراین فراهم آوردن یک سطح از عکس دیگر غیر ممکن خواهد بود. همچنین این امکان وجود دارد که متدولوژی (روش شناسی) را برای تحلیل ساختار سطح در سطح مولکولی بکار برد. همانطور که ذکر شد در تبدیل فوریه ، سیگنال به موجهای سینوسی که دارای بسامدهای متفاوت هستند تفکیک میشود. به همین نحو در تبدیل موجک ، سیگنال به موجکهایی که شکل انتقالیافته یا مقیاس شدهای از یک موجک اصلی (یا مادر) هستند تفکیک میشود.

شکل 3-3 تفکیک سیگنال به موجکهای مادر تشکیل دهنده آن با استفاده از ضرائب تبدیل موجک
ویژگی اصلی تبدیل موجک در مقابل تبدیل فوریهی زمان کوتاه اینست که “تمامی توابع پایه از انتقال و مقیاس یک تابع (موجک مادر) بدست می آیند.” توابع موجک با اضافه کردن دو پارامتر انتقال و مقیاس، بصورت زیر از روی موجک مادر بدست می آیند:

در این رابطه ψ موجک مادر، a پارامتر مقیاس و bپارامتر انتقال و ضریب به منظور نرمالیزه کردن مقیاسهای مختلف اضافه شده است.
سیگنال تحت بررسی دارای فرکانسهای بالا در بازههای زمانی کوتاه (همانند مشاهده درخت (مقیاس کوچک)) و یا فرکانسهای پایین برای زمانهای طولانی (همانند مشاهده جنگل (مقیاس بزرگ)) می باشد مفید است.
این به بیان فیزیکی یعنی اینکه :

شکل 3-4 نحوه عمل در تبدیل موجک
در شکل بالا آن موجی که بیشترین مقیاس را دارد یعنی مشابهترین موج به سیگنال اصلی که حاوی بیشترین اطلاعات سیگنال است ، کمترین فرکانس را دارد و به عکس.
همانطور که در شکل مشاهده میشود، در فرکانسهای بالا زولوشن زمانی (طول هر یک از مستطیلها) بالا و رزولوشن فرکانسی (طول هر یک از مستطیلها) پایین و در فرکانسهای پایین، رزولوشن فرکانسی بالا و رزولوشن زمانی پایین دارد [21].

a : پارامتر مقیاس (بزرگنمایی موج) b : پارامتر انتقال یا شیفت
a1 < a2 , b1 < b2 فرکانس >فرکانس
3-3 مقیاسگذاری
آنالیز موجک دید زمان مقیاس از سیگنال ارائه میدهد. مقیاس گذاری موجک بطور ساده به مفهوم کشیدن یا فشردن کردن آن است که همان مفهوم scale factor است که با حرف a مشخص میشود. شکل 3-5 اثر scale factor را بر روی یک موجک نشان میدهد.