پایان نامه ارشد درمورد بکارگیری روش و تبدیل فوریه


Widget not in any sidebars
آنچه تحت عنوان اهداف این اندازهگیریها مطرح است، در چهار سؤال زیر خلاصه میشود:
1- چه مؤلفههایی در سری اطلاعاتی بدست آمده موجود است؟
2- یک مؤلفه بخصوص در فضای آرگومان، در کجا رخ میدهد ؟
3- یک مؤلفه بخصوص در فضای فرکانس، در کجا رخ میدهد ؟
4- یک فرکانس بخصوص در کدام قسمت از فضای آرگومان رخ میدهد ؟
پاسخ به سؤال اول و دوم نیازمند دانش اولیه در مورد طبیعت سری اطلاعاتی است. این دانش اولیه منجر به انتخاب توابع پایه مناسب در مولفه فرکانسی سیگنال است.
راه حل سؤال سوم استفاده از تبدیل فوریه بویژه در حالتی که سری اطلاعاتی ماهیت تناوبی داشته باشد است. به عبارت دیگر این روشها امکان تعیین مؤلفههای مشخص در فضای فرکانس را فراهم میآورند. اما “با استفاده از دو تبدیل فوق امکان تشخیص این که آیا یک فرکانس خاص در قسمتی از سری اطلاعاتی یا در تمامی آن وجود دارد، میسر نمیباشد.” برای پاسخگویی به سؤال چهارم نیازمند بکارگیری روشهایی دیگر هستیم. از جمله این روشها میتوان STFT نام برد.
آنالیزطیفی فوریه و فوریهی زمان کوتاه
اکثر سریهای اطلاعاتی که مورد بررسی قرار میگیرند در فضای آرگومان هستند که همواره بهترین نوع نمایش آنها نمیباشد. به عبارت دیگر در بسیاری از موارد، اطلاعات قابل استفادهی زیادی از سیگنال در دامنه فرکانس آنها نهفته است. هدف از آنالیز طیفی پیدا کردن فرکانسهای مجهول سیگنال است. آنالیز طیفی را میتوان اولین گام در تجزیه تابع f (x) به جملات مثلثاتی مجزا دانست. حل دقیق این مساله به ندرت امکان پذیر است. از جمله روشهای حل این مساله میتوان به آنالیز هارمونیک، آنالیز طیفی کمترین مربعات و آنالیز طیفی فوریه اشاره کرد[15]. بطور کلی میتوان سریهای اطلاعاتی را به دو بخش تقسیم کرد:
1- سریهای اطلاعاتی ایستا
2- سریهای اطلاعاتی ناایستا
سریهای اطلاعاتی ایستا به سریهایی اطلاق میشود که فرکانسهای موجود در آنها در تمامی نقاط فضای آرگومان رخ میدهند.
سریهای اطلاعاتی ناایستا به سریهایی اطلاق میشود که فرکانسهای موجود در آنها در نقاط مختلف فضای آرگومان رخ میدهند. در صورتی که هدف از آنالیز یک سری اطلاعاتی تنها آشکارسازی فرکانسهای موجود در آن باشد، روش بکار گرفته شده در آنالیز سریهای اطلاعاتی ایستا و ناایستا میتواند یکسان باشد. برای این منظور میتوان از تبدیل فوریه استفاده کرد. اما اگر هدف از آنالیز سری اطلاعات آشکارسازی محل بوقوع پیوستن هر فرکانس در فضای آرگومان باشد، تقسیم بندی ارائه شده در مورد سریهای اطلاعاتی از نقطه نظر ایستا یا ناایستا بودن باید مورد توجه قرار گیرد. در سریهای اطلاعاتی ایستا میتوان با استفاده از تبدیل فوریه نیز به جواب دلخواه رسید. “زیرا با استفاده از تبدیل فوریه فرکانسهای موجود در سری اطلاعاتی آشکار می شوند و نیز می دانیم که این فرکانسها در تمامی نقاط فضای آرگومان رخ میدهند.” اما در بررسی سریهای اطلاعاتی ناایستا پاسخگویی به این سؤال با بکارگیری تبدیل فوریه امکان پذیر نیست. بلکه باید امکان موضعی سازی زمان- فرکانس را فراهم آورند [15،16].
یکی از روشهای حل این مساله تبدیل سری اطلاعاتی ناایستا به بخشهای ایستا است. برای این منظور از یک تابع پنجره استفاده میشود، که با ضرب کردن آن در سری اطلاعاتی، میتوان آن را در فضای آرگومان محدود کرد. اگر از نتیجه این حاصلضرب تبدیل فوریه گرفته شود، میتوان از طیف حاصله به عنوان طیف سری اطلاعاتی در بازه زمانی تعریف شده توسط تابع پنجره تعبیرکرد. از این تبدیل به عنوان تبدیل فویه زمان کوتاه نام برده میشود.
همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، در این تبدیل یک سری اطلاعاتی به بخشهای کوچک تقسیم میشود و سپس از هر بخش تبدیل فوریه گرفته میشود.

شکل 3-1 روند تبدیل فوریهی زمان کوتاه[18].
برای رسیدن به تقسیم بندی زمانی مناسب از یک پنجره کوچک استفاده کرد و برای اندازهگیری دقیق یک فرکانس باید از یک پنجره به اندازه کافی بزرگ استفاده کرد. بنابراین یک رابطه عکس بین دقت زمانی و دقت فرکانسی وجود دارد.
تبدیل فوریه اجازه میدهد تا برای تجزیه و تحلیل دقیق از اجزای (مولفه) هارمونیک مقطع عرضی یا (برش عمودی) سطح استفاده شود. و در تفکیک تریس لرزهای به امواج سینوسی یا کسینوسی تشکیل دهنده آن بسیار موثر عمل میکند ولی متاسفانه پس از این تفکیک اطلاعات زمانی از بین میرود. بدین معنی که وقتی به تبدیل فوریهی یک سیگنال نگاه شود غیر ممکن است که بتوان گفت این مولفهها در چه زمانی روی سیگنال مورد نظر قرار دارند. چون تریسهای لرزهای ناپایا هستند، به عبارت دیگر خواص بسامدی و فازی آنها متغیر با زمان است، بنابراین نمیتوان از تبدیل فوریه برای تشخیص این خواص استفاده کرد. [21].
حال این سوال مطرح میشود که آیا میتوان برای رفع این مشکل سیگنال ناپایا را در بخشهای کوچکتری به عنوان سیگنالهای پایا فرض کرد یا به چند سیگنال پایا تقسیم نمود؟ جواب مثبت است ، نوعی تبدیل فوریه وجود دارد که روی قسمتی از یک سیگنال (در زمان) به کار میرود ، این روش به ” پنجره کردن سیگنال ” معروف است سیگنال ورودی را در دو بعد زمان و بسامد میدهد و نیز اطلاعاتی در مورد اینکه در چه زمانی کدام بسامدها ثبت شدهاند را میدهد. اصطلاح ” تبدیل فوریهی زمان کوتاه ” تفاوتی با تبدیل فوریهی معمولی دارد که طول پنجره در تبدیل فوریه برابر با طول سیگنال است ولی در تبدیل فوریهی زمان کوتاه، طول پنجره دارای ابعاد محدودی است، و فقط بخشی از سیگنال که در داخل. پنجره قرار دارد تبدیل فوریه گرفته میشود از نظر ریاضی، تبدیل فوریهی زمان کوتاه را میتوان بصورت زیر نشان داد:

که در آن :
سیگنال اصلی : (t) x
t– t) w(تابع پنجره : (